Назад

ⓘ Параметризация Фейнмана - это метод оценки интегралов по замкнутым контурам, возникающих из диаграмм Фейнмана с одним или несколькими циклами. Однако иногда это ..




                                     

ⓘ Параметризация Фейнмана

Параметризация Фейнмана - это метод оценки интегралов по замкнутым контурам, возникающих из диаграмм Фейнмана с одним или несколькими циклами. Однако иногда это полезно при интегрировании в области чистой математики.

                                     

1. Формулы

Ричард Фейнман заметил, что:

1 A B = ∫ 0 1 d u ^{n}}}.\end{aligned}}}

Эта формула действительна для любых комплексных чисел A 1., A n, если 0 не содержится в их выпуклой оболочке.

Даже в более общем плане, при условии, что Re α j > 0 {\displaystyle {\text{Re}}\alpha _{j}> 0} для всех 1 ≤ j ≤ n {\displaystyle 1\leq j\leq n}:

1 A 1 α 1 ⋯ A n α n = Γ α 1 + ⋯ + α n Γ α 1 ⋯ Γ α n ∫ 0 1 d u 1 ⋯ ∫ 0 1 d u n δ 1 − ∑ k = 1 n u k u 1 α 1 − 1 ⋯ u n α n − 1 ∑ k = 1 n u k A k ∑ k = 1 n α k {\displaystyle {\frac {1}{A_{1}^{\alpha _{1}}\cdots A_{n}^{\alpha _{n}}}}={\frac {\Gamma \alpha _{1}+\dots +\alpha _{n}}{\Gamma \alpha _{1}\cdots \Gamma \alpha _{n}}}\int _{0}^{1}du_{1}\cdots \int _{0}^{1}du_{n}{\frac {\delta 1-\sum _{k=1}^{n}u_{k}\;u_{1}^{\alpha _{1}-1}\cdots u_{n}^{\alpha _{n}-1}}{\left\sum _{k=1}^{n}u_{k}A_{k}\right^{\sum _{k=1}^{n}\alpha _{k}}}}}

где Γ {\displaystyle \Gamma } - гамма-функция.

                                     

2. Вывод

1 A B = 1 A − B 1 B − 1 A = 1 A − B ∫ B A d z 2. {\displaystyle {\frac {1}{AB}}={\frac {1}{A-B}}\left{\frac {1}{B}}-{\frac {1}{A}}\right={\frac {1}{A-B}}\int _{B}^{A}{\frac {dz}{z^{2}}}.}

Теперь просто линейно преобразовать интеграл с помощью подстановки,

u = z − B / A − B {\displaystyle u=z-B/A-B}, что приводит к d u = d z / A − B {\displaystyle du=dz/A-B}, откуда z = u A + 1 − u B {\displaystyle z=uA+1-uB}

и мы получаем искомый результат:

1 A B = ∫ 0 1 d u ^{n}}}.}

Точно так же, чтобы вывести форму параметризации Фейнмана из наиболее общего случая,: 1 A 1 α 1. A n α n {\displaystyle {\frac {1}{A_{1}^{\alpha _{1}}.A_{n}^{\alpha _{n}}}}} можно начать с подходящей другой формы параметризации Швингера в знаменателе, а именно:

1 A 1 α 1 = 1 α 1 − 1! ∫ 0 ∞ d s 1 s 1 α 1 − 1 e − s 1 A 1 = 1 Γ α 1 ∂ α 1 − 1 ∂ − A 1 α 1 − 1 ∫ 0 ∞ d s 1 e − s 1 A 1 {\displaystyle {\frac {1}{A_{1}^{\alpha _{1}}}}={\frac {1}{\left\alpha _{1}-1\right!}}\int _{0}^{\infty }ds_{1}\,s_{1}^{\alpha _{1}-1}e^{-s_{1}A_{1}}={\frac {1}{\Gamma \alpha _{1}}}{\frac {\partial ^{\alpha _{1}-1}}{\partial -A_{1}^{\alpha _{1}-1}}}\left\int _{0}^{\infty }ds_{1}e^{-s_{1}A_{1}}\right}

и затем действовать точно в соответствии с предыдущим случаем.

                                     

3. Альтернативная форма

Альтернативная форма параметризации, которая иногда полезна,

1 A B = ∫ 0 ∞ d λ ^{n+m}}},}

где Γ {\displaystyle \Gamma } - гамма-функция.

Эта форма может быть полезна при объединении линейного знаменателя A {\displaystyle A} с квадратичным знаменателем B {\displaystyle B}, например, в эффективной теории тяжелых кварков HQET.

                                     

4. Симметричная форма

Иногда используется симметричная форма параметризации, где вместо этого выполняется интеграл на интервале ^{2}}}.}

                                     
  • Фейнмановская параметризация Точка Фейнмана Пропагатор Фейнмана Слэш - обозначения Фейнмана Храповик Фейнмана - Смолуховского Спринклер Фейнмана Теорема Геллмана
  • том числе 5 монографий. Биленький, С. М. Введение в диаграммную технику Фейнмана - М., Атомиздат, 1971. - 215 с. Биленький, С. М. Лекции по физике нейтринных

Пользователи также искали:

...
...
...